ГлавнаяСтатьиРадио и физика → Справка по ряду Фурье

Справка по ряду Фурье

7 апреля 2013 года
Ключевые слова: ряд Фурье , коэффициенты Берга

Эта заметка — отрывок из конспекта по радиофизике. В ней приведены формулы вычисления ряда Фурье и примеры решения двух задач; о спектре прямоугольного импульса и об отклике нелинейного элемента с кусочно-линейной ВАХ (вычисление коэффициентов Берга).

Разложение функций в ряд Фурье по сумме синусов и косинусов


Пусть непрерывная и ограниченная функция $$y(x)$$ периодична с периодом $$ 2\pi$$ . Тогда ее можно разложить в ряд вида:

$$ y(x)=A_0 + {\sum\limits_{m=1}^{ \infty } a_m cos(mx)} + {\sum\limits_{m=1}^{ \infty } b_m sin(mx)} \qquad \eqno(1) $$

Доказательство:

1) Проинтегрируем обе части (1) в пределах $$ -\pi..\pi $$ :

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} y(x)dx=2 \pi a_0+ \sum\limits_{m=1}^{\infty} a_m \int\limits_{-\pi}^{\pi} cos(mx)dx+ \sum\limits_{m=1}^{\infty} b_m \int\limits_{-\pi}^{\pi} sin(mx)dx \qquad \eqno(2) $$

Интегралы $$ \int\limits_{-\pi}^{\pi} cos(mx)dx $$   и  $$ \int\limits_{-\pi}^{\pi} sin(mx)dx $$  равны 0

Поэтому:
$$ A_0= \frac {1}{2\pi} \int\limits_{\-pi}^{\pi} y(x) dx $$

2) Умножим обе части ряда (1) на $$cos(nx)$$ и проинтегрируем результат в пределах $$ -\pi..\pi $$ :

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} y(x) cos (nx) dx=2 \pi a_0 \int\limits_{-\pi}^{\pi} cos (nx) \, dx + \\ +\frac {1}{2} \sum\limits_{m=1}^{\infty} a_m \int\limits_{-\pi}^{\pi} cos(m-n)x + cos(m+n) \, dx + \\ +\frac {1}{2} \sum\limits_{m=1}^{\infty} b_m \int\limits_{-\pi}^{\pi} sin(m-n)x + sin(m+n)x \, dx \qquad \eqno(3) $$

Отбросив все нулевые члены получим:

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} y(x) cos (nx) dx=\frac {a_n}{2} \int\limits_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx $$

Откуда :

$$ a_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}y(x)cos(nx)\,dx $$

3) Аналогично, умножив обе части ряда (1) на $$sin(nx)$$ и проинтегрировав обе части в пределах $$ -\pi..\pi $$ получим:

$$ b_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}y(x)sin(nx)\,dx $$


Вывод — периодическая функция периода $$ 2 \pi $$ может быть разложена в ряд Фурье вида:

$$ y(x)={ a_0/2 } + { {\sum\limits_{m=1}^{ \infty } a_m cos(mx)} + {\sum\limits_{m=1}^{ \infty } b_m sin(mx)} } $$

с коэффициентами

$$ a_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}y(x)cos(n x) \, dx $$    ,    $$ b_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}y(x)sin(n x) \, dx \qquad \eqno(4) $$

Обобщение на случай произвольного периода

Пусть y есть периодическая функция времени $$ f(t) $$ с периодом T, которому соответствует круговая частота   $$ \omega= \frac {2\pi}{T}$$

Проводя замену переменной $$ x=\omega t $$ получим:

$$ a_n=\frac{2}{T} \int\limits_{-T/2}^{T/2}f(t)cos(n \omega t) \, dt $$    ,    $$ b_n=\frac{2}{T} \int\limits_{-T/2}^{T/2}f(t)sin(n \omega t) \, dt \qquad \eqno(5) $$

Ряд Фурье в компактном виде

Ряд (1) можно представить более компактно. А именно, n-ый член ряда будет таким:

$$ y_n=a_n \, cos ( \varphi ) +b_n \,sin ( \varphi ) = c_n \,cos (\varphi -\psi_n) \qquad \eqno(6) $$

Здесь φ=nx , а неизвестные коэффициенты cn и ψn надо найти через известные an и bn

Воспользуемся формулой приведения $$ sin( \varphi ) = cos( \varphi - \pi /2 ) $$ и векторной диаграммой.
Из нее видно, что величина $$ y_n=a_n \, cos ( \varphi )+ b_n \, cos( \varphi -\pi/2)=c_n \, cos (\varphi - \psi_n)$$ это сумма проекций векторов $$ \overrightarrow {a_n} $$ и $$ \overrightarrow {b_n} $$ и одновременно проекция их суммарного вектора $$ \overrightarrow {c{}_n} $$ на ось абсцисс. Отсюда следует, что:

$$ c_n=\sqrt{(a_n{}^2+b_n{}^2)} $$ и $$ \psi_n=arctg(b_n/a_n) \qquad \eqno(7) $$

Окончательно получим:

$$ y(x)=a_0/2 + {\sum\limits_{m=1}^{ \infty } c_m \, cos(mx-\psi_m)} \qquad \eqno(8) $$
Где
$$ a_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}y(x)cos(n x) \, dx $$    n=0,1,2..        $$ b_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}y(x)sin(n x) \, dx $$    n=1,2..

Простейшие свойства разложения Фурье

1. Линейность $$F(f+g)=F(f)+f(g) $$    и    $$ F(kf)=kF(f) $$

2. Сохранение четности и нечетности. Пусть $$ f $$ - четная, а $$ g $$ - нечетная функция на интервале периодичности $$ -\pi .. \pi$$.
Тогда разложение $$ f $$  будет содержать лишь косинусы, т.е. иметь только коэффициенты a0,a1..am.
Наоборот, разложение $$ g $$  будет содержать лишь синусы, т.е. иметь только коэффициенты b0,b1..bm.

Примеры задач радиофизики с рядами Фурье

Пример 1. Спектр прямоугольных импульсов длительностью τ

Функция f(t) равна 1 на интервале - τ/2 .. τ/2 и 0 на остальном интервале периода.Все bn=0 так как функция f(t) четная.

$$A_0=\frac{1}{T}\int\limits_{-\tau/2}^{\tau/2} dt =\frac{\tau}{T} $$

$$ a_n=\frac{2}{T} \int\limits_{-\tau/2}^{\tau/2} cos( n \omega t) \, dt=\frac{2 \tau}{T} \frac {sin ( n \omega \tau /2)} {n \omega \tau /2}= \frac{2 \tau} {T} \, \frac {sin ( n \pi \tau /T)} {n \pi \tau /T} $$

В частном случае $$ \tau=T/2 $$     (такой сигнал называется меандр):

$$ A_0=\frac{1}{2},\: a_1=\frac{2}{\pi}, \: a_2=0, \: a_3=-\frac{2}{3\pi} , \: a_4=0, \: ... \: a_n=\frac {sin(n\pi/2)}{n\pi/2} $$

Пример 2. Гармонический анализ тока в нелинейном элементе с кусочно-линейной вольт-амперной характеристикой

Допустим имеется радиолампа, например триод с "правой" характеристикой. Слово "правая" означает, что триод сделан так, что он будет проводить анодный ток лишь при положительном напряжении на сетке больше некоторого напряжения отсечки U0. Также предположим, что анодный ток пропорционален сеточному напряжению и не зависит от анодного напряжения. Такой триод и есть нелинейный элемент с кусочно-линейной ВАХ.

Заставим наш триод работать усилителем. Для этого подадим на сетку некоторое синусоидальное напряжение c амплитудой Um а также открывающее напряжение смещения E0.
Возникает вопрос, какова будет амплитуда различных гармоник тока в зависимости от соотношения между U0, Um, E0?

Впервые на него ответил А.И. Берг [1]. Если напряжение на сетке $$ U_m cos (\omega t)+E_0 \ge U_0$$   то в цепи потечет анодный ток.

Он станет равным 0 при некотором угле отсечки $$x=\omega t=\theta $$ таком, что $$ cos(\theta)=\frac{U_0-E_0}{U_m} $$

Следовательно $$ I_a(x)=SU_m ( cos(x)-cos(\theta) ) \:,\: x \in [-\theta, \theta]$$

Функция $$ I_a (x) $$ четная, поэтому все bn=0. Воспользовавшись (4) после некоторых преобразований находим:

$$ \frac { a_0 }{ 2 } = SU_m \frac { sin( \theta )- \theta cos( \theta ) }{ \pi } $$  ,  $$ a{}_1=SU_m \frac {2\theta -sin(2 \theta)}{2\pi} $$  ,  $$ a{}_{2}=SU_m \frac { 2 sin{}^3 (\theta) }{ 3 \pi } $$  ,  $$ a_3 = a_2 \, cos ( \theta ) $$

Итак амплитуда гармоник анодного тока прямо пропорциональна амплитуде напряжения на сетке и некоторым коэффициентам, зависящим лишь от угла отсечки. Их называют гамма коэффициентами Берга.

"Вес" гармоники в величине анодного тока характеризуют альфа коэффициенты Берга. Они равны отношению амплитуды n-ой гармоники к максимальному анодному току.

$$ \alpha_n = \frac { i_{mn} } { i_{max} } = \frac { SU_m \gamma_n } { SU_m (1-cos( \theta ) )} = \frac { \gamma_n } { 1-cos( \theta ) } $$

Таблица альфа коэффициентов Берга для некоторых углов отсечки

Коэффициент

450

600

900

1200

1800

α0

0,165

0,218

0,318

0,406

0,5

α1

0,310

0,391

0,5

0,536

0,5

α2

0,256

0,276

0,212

0,092

0

α3

0,181

0,138

0

-0,046

0


Литература.

  1. Берг А.И. Теория и расчет ламповых генераторов. Часть 1. Независимое возбуждение незатухающих колебаний. Учебник. Издание второе, дополненное и переработанное. Л.-М.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР. Главная редакция энергетической литературы, 1935

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 35+2?